Séptima: Bases, Transformaciones y Matrices

Definiciones, explicaciones y ejemplos

Bases

Una base para el espacio vectorial V es una colección de vectores B=(v₁,v₂,...,vₙ), tales que:
1) Cualquier vector v∈V puede escribirse como una combinación lineal de los vectores en B, es decir, existen escalares a₁,a₂,...,aₙ tales que v=a₁v₁+a₂v₂+⋯+aₙvₙ.
2) La combinación lineal v=a₁v₁+a₂v₂+⋯+aₙvₙ que define a un vector es única, es decir, que no existe otra colección b₁,b₂,...,bₙ tal que v=b₁v₁+b₂v₂+⋯+bₙvₙ.

Es conveniente darle un orden a los elementos de B porque de esta forma podemos fácilmente codificar un vector dando solamente la lista ordenada de coeficientes que lo definen en la base en cuestión. Así, cuando v=a₁v₁+a₂v₂+⋯+aₙvₙ, entonces v en la base B se representa por la n-ada ordenada vB=(a₁,a₂,...,aₙ).

La condición 2) en la definición de base que dimos arriba se conoce como independencia lineal. Es equivalente a lo siguiente: La única forma en que una colección de escalares c₁,c₂,...,cₙ hagan que c₁v₁+c₂v₂+⋯+cₙvₙ=0, es cuando c₁=c₂=⋯=cₙ=0.
Ejercicio: intente demostrar esta última equivalencia.

Podemos pensar en una base como en un sistema de coordenadas. La base canónica de Rⁿ está formada por los vectores ((1,0,...,0),(0,1,...,0),...(0,0,...,1)), que denotamos (e¹, e²,...,eⁿ). Con esto (a₁,a₂,...,aₙ)=a₁e¹+a₂e²+⋯+aₙeⁿ.
Con esto en mente, cambiar de base puede pensarse como un cambio de sistema de coordenadas.

Ejemplo.
En R² podemos tomar la base canónica C=((0,1),(1,0))=(e¹,e²) y una base alternativa (con el nombre sabiondo de Base de Fourier) F=((1,1)/√2,(1,-1)/√2)=(f¹,f²). La relación entre estas dos bases es:
f¹=(e¹+e²)√2, f²=(e¹-e²)√2, por lo tanto e¹=(f¹+f²)/√2, e²=(f¹-f²)/√2
Ejercicio: verificar estas ecuaciones.
Así, el vector (x,y)=(x,y)C =xe¹+ye² en la base canónica, se representa como
xe¹+ye²=x (f¹+f²)/√2+y(f¹+f²)/√2=((x+y)/√2)f¹+((x-y)/√2)f²
por lo tanto
(x,y)=(x,y)C=((x+y)/√2, ((x-y)/√2)F

Transformaciones

Vamos a considerar una transformaciones lineales L:V→V en dos bases B y B', y veremos cómo se relacionan las matrices que representan a L en esas bases.

Para definir L tenemos que especificar cómo actúa L sobre la base, es decir, tenemos que decir cuál es el resultado de aplicar L a los elementos de la base y ese resultado debe escribirse como una combinación lineal de elementos de la base. Supongamos pues que B=(v₁,v₂,...,vₙ) y que
Lv₁=m¹₁v₁+m²₁v₂+⋯+mⁿ₁vₙ
Lv₂=m¹₂v₁+m²₂v₂+⋯+mⁿ₂vₙ
⋮          ⋮         ⋮         ⋮
Lvₙ=m¹ₙv₁+m²ₙv₂+⋯+mⁿₙvₙ

La matriz que represente a la transformación L en la base B se obtiene poniendo los coeficientes de la n-ésima ecuación en la n-ésima columna. Entonces LB=(mⁱⱼ) y la versión matricial de la transformación es
(Lv)B=LBvB

Ejemplo
En R² definimos la transformación L en la base canónica como sigue: Le¹=2e¹+e², Le²=e¹-e².
En este caso 
LC= |2  1|
       |1 -1|
Por otro lado, si usamos la base alternativa tendremos
Lf¹=L(e¹+e²)/√2=(2e¹+e²)/√2+(e¹-e²)/√2=3e¹/√2,  
Lf²=L(e¹-e²)/√2=(2e¹+e²)/√2-(e¹-e²)/√2=e¹/√2+2e²/√2.
Pero necesitamos esto en términos de la nueva base, así que hay que escribir e¹ y e² en función de f¹ y f². Entonces tenemos
Lf¹=3e¹/√2=3((f¹+f²)/√2)/√2=3(f¹+f²)/2,  
Lf²=e¹/√2+2e²/√2=((f¹+f²)/√2)/√2+2((f¹-f²)/√2)/√2=(f¹+f²)/2+(f¹-f²)=3f¹/2-f²/2.
O sea que
LF=|3/2  3/2|
     |3/2 -1/2|

En general, si tenemos otra base B'=(v₁',v₂',...,vₙ') y queremos escribir la transformación L en esta nueva base, entonces necesitamos primero que nada establecer la realción entre la base B y B'. Necesitamos entonces las ecuaciones 

v₁'=a¹₁v₁+a²₁v₂+⋯+aⁿ₁vₙ
v₂'=a¹₂v₁+a²₂v₂+⋯+aⁿ₂vₙ
 ⋮      ⋮       ⋮         ⋮
vₙ'=a¹ₙv₁+a²ₙv₂+⋯+aⁿₙvₙ

que relacionan a B' con B y también necesitamos las ecuaciones recíprocas,

v₁=b¹₁v₁'+b²₁v₂'+⋯+bⁿ₁vₙ'
v₂=b¹₂v₁'+b²₂v₂'+⋯+bⁿ₂vₙ'
 ⋮      ⋮       ⋮         ⋮
vₙ=b¹ₙv₁'+b²ₙv₂'+⋯+bⁿₙvₙ'

que relacionan a B' con B. Cuando v=a₁v₁+a₂v₂+⋯+aₙvₙ, entonces 
v=a₁(b¹₁v₁'+b²₁v₂'+⋯+bⁿ₁vₙ')+a₂(b¹₂v₁'+b²₂v₂'+⋯+bⁿ₂vₙ')+⋯+aₙ(b¹ₙv₁'+b²ₙv₂'+⋯+bⁿₙvₙ')
  = (b¹₁a₁+b¹₂a₂+⋯+b¹ₙaₙ)v₁'+(b²₁a₁+b²₂a₂+⋯+b²ₙaₙ)v₂'+⋯+(bⁿ₁a₁+bⁿ₂a₂+⋯+bⁿₙaₙ)vₙ',
  = a₁'v₁'+a₂'v₂'+⋯+aₙ'vₙ'.
Los coeficientes aₗ', que son las coordenadas de v en la base B',  se obtienen a partir de los coeficientes aₗ , que son las coordenadas de v en la base B, de esta forma:
aₗ'= bˡ₁a₁+bˡ₂a₂+⋯+bˡₙaₙ 

En notación matricial tenemos vB'=MB'B vB donde vB' =(a₁', a₂',...,aₙ') y vB=(a₁,a₂,...,aₙ) y  
MB'B=(bⁱⱼ). 

Ahora, si la matriz que representa a la transformación L en la base B es LB, entonces la matriz que representa a L en la base B' se obtiene así:

LB' = MBB'LBMB'B
donde MB'B=(bⁱⱼ) es la matriz que permite obtener los coeficientes en base B' a partir de los coeficientes en la base B y MB'B=(aⁱⱼ) es la matriz que cambio de base de B a B'. 
Ejercicio: Demuestre que MB'B es la inversa de MBB'