Número doce: Determinante parte 2 y examen resuelto

Determinantes parte dos

En la clase del día de hoy (11 de mayo) repasamos la definición y algunas propiedades de los determinantes. Todas las propiedades que vimos se demuestran de forma inductiva sobre la dimensión. Esto quiere decir que la propiedad es válida para matrices de dimensión nxn siempre que lo sea para matrices de dimensión (n-1)x(n-1). Se verifica que la propiedad es válida en matrices 2x2, y eso completa la prueba por inducción. 

Las propiedades que establecimos de esta manera son:

1. Si B se obtiene de A al multiplicar el i-ésimo renglón por una constante 𝜆, entonces det(B)=𝜆 det(A).
2. Si B se obtiene de A al sumarle al i-ésimo renglón de A su k-ésimo renglón multiplicado por 𝜆, entonces det(B)=det(A).
3. Si A tiene dos renglones iguales, entonces det(A)=0.
4. Si B se obtiene de A al permutar el renglón i por el renglón k, entonces det(B)=-det(A).

Vimos que todas estas propiedades se demuestran por inducción. En la clase dimos por hecho la propiedad 4, que usamos para probar 3 y luego usamos 2 para probar 2.

En las propiedades 1, 2 y 4 la matriz B se obtiene de la matriz A por medio de una operación elemental y estas tres propiedades pueden resumirse en la ecuación   

det(EA)=n(E)det(A)

donde E es una matriz codificando una operación elemental y

•     n(E)=𝜆 si la operación es multiplicar un renglón por 𝜆,
•     n(E)=1 si la operación es sumar a un renglón 𝜆 veces otro renglón,
•     n(E)=-1 si la operación es intercambiar dos renglones.

Sabemos que toda matriz se puede factorizar así:

A=E₁ E₂⋯Eₗ A₀,

donde Eₗ son matrices que codifican operaciones elementales por renglón, y A₀

es una matriz escalonada reducida. Hemos visto que en el caso en que A es invertible, A₀ es la identidad Id, y entonces det(A₀)=det(Id)=1. En el caso no invertible el último reglón de A₀ tiene solamente ceros y por lo tanto det(A₀)=0.

Con esto

det(A)=n(E₁) n(E₂) ⋯ n(Eₗ)

en el caso en que A es invertible, o bien det(A)=0 en el caso no invertible.

Esta factorización nos permitió demostrar fácilmente que 

det(AB)=det(A) det(B). 

Para mas detalles, pueden consultar el video de la clase en la liga

https://drive.google.com/open?id=1hYZDUAlcb5HzMXjNFh7XRCVyleNyRu_4

Respecto al examen del viernes 8 de mayo, tengo sus resultados que pueden consultar en la liga 

https://drive.google.com/open?id=1E3AdJxbR4pIbTyS8u7hZJlKYY3px0dpu

Les recomiendo consultar el examen resuelto, que se encuentra en la liga

https://drive.google.com/open?id=1zlsRNLADMCjb_xgxu9jJnk2u1gD-Iz72

Nos vemos en la clase del miércoles.

E. Ugalde