Octava: Determinante parte uno
El determinante
Primeramente. Les agradezco las dudas y estoy planeando aclararlas en línea usando Zoom. Así es que los invito a instalar el Zoom para que tengamos una reunión virtual este jueves a las 10AM y otra el viernes a la misma hora.
Como les pude comentar en clase, cuando todavía teníamos clase, a mi no me gusta mucho el determinante, pero debo reconocer que es una herramienta útil y que algunas veces he tenido que echar mano de ella en trabajos de investigación. Además es parte importante en el programa y ya no podemos postergar su aparición.
El determinante
Antes que nada y para facilitar la lectura, voy a introducir la siguiente notación que se usa para escribir instrucciones en Octave.
Octave, Scilab y Matlab son plataformas informáticas que se usan para hacer cálculos con matrices. Los invito a que experimenten un poco con alguna de ellas. Yo prefiero Octave porque es de gratuita y de código abierto. La alternativa europea a Octave es Scilab. También la recomiendo mucho.
Con la notación A=[a b; c d] denotamos al matriz que tiene como primer renglón al vector (a, b) y como segundo renglón al vector (b, c). En general usaremos la notación
A=[a¹₁ a²₁ ⋯ aⁿ₁;a¹₂ a²₂ ⋯ aⁿ₂; ⋯ ;a¹ₘ a²ₘ ⋯ aⁿₘ]
para la matriz de tamaño mxn que tiene como j-ésimo renglón al vector
(a¹ⱼ, a²ⱼ,...,aⁿⱼ).
Como vimos en clase, cuando todavía había clase, para la matriz A=[a b; c d], el determinante es el número
det(A)=ac-bd
y nos dice en particular si la matriz es invertible (cuando det(A)≠0) o no. La pregunta es ¿cómo se define el determinante en general?. Lo primero que hay que decir es que el determinante solo tiene sentido para matrices cuadradas (nxn) y se puede definir de forma recursiva (o sea, usando el determinante para matrices (n-1)x(n-1) para definir el determinante de una matriz nxn). Así, para
A=[a¹₁ a²₁ ⋯ aⁿ₁;a¹₂ a²₂ ⋯ aⁿ₂; ⋯ ;a¹ₙ a²ₙ ⋯ aⁿₙ]
tenemos
det(A)=a¹₁ det(A¹₁) - a²₁ det(A²₁) + ⋯ + (-1)ⁿ aⁿₙ det(Aⁿₙ).
Hay varias cosas que explicar. La primera, ¿qué quiere decir Aⁱⱼ? Bueno, Aⁱⱼ es la submatriz de A, de tamaño (n-1)x(n-1), que se obtiene al eliminar de A el renglón i y la columna j. Así
A²₁=[a¹₂ a³₂ ⋯ aⁿ₂;a¹₃ a³₃ ⋯ aⁿ₃; ⋯ ;a¹ₙ a³ₙ ⋯ aⁿₙ]
La suma que se usa para definir el determinante es una suma alternante, esto es, los signos van alternando +, -, +, -, ... El signo del último sumando depende de la dimensión. Si la dimensión es par, el signo es +, si no es -. Esto se logra anotar en la fórmula con el (-1)ⁿ. De hecho, una forma abreviada de la fórmula del determinante, usando la notación de sumatoria, es
det(A)=∑ (-1)¹⁺ˢ a¹ₛ det(A¹ₛ)
sumando para s=1 hasta s=n. Entonces, para calcular determinantes de matrices nxn necesitamos saber calcular determinantes de matrices (n-1)x(n-1) y para esto necesitamos calcular determinantes de matrices (n-2)x(n-2), y así hasta que llegamos a 2x2, para los cuales ya tenemos una fórmula explícita. De hecho la fórmula recursiva también funciona para 2x2, si aceptamos que el determinante de una matrix 1x1, que es un número, es le número mismo. Así por ejemplo
det([a b; c d])=a det(d) - c det(b) = ad-bc.
Para matrices 3 x 3 tenemos
det([a b c; d e f; g h i])=a det([e f; h i]) - b det([d f; g i]) + c det([d e; g h])
=a (e i - f h) - b (d i - f g) + c (d h - e g)
=a e i + b f g + c d h - g e c - h f a - i d b
La última expresión corresponde a sumar productos sobre diagonales y restar productos sobre antidiagonales de la matriz rectangular que se obtiene a repetir las dos primeras columnas de A. Esto de sumar productos sobre diagonales y restar productos sobre antidiagonales luce bien y da bonitas expresiones, pero tiene la desventaja que solo funciona en matrices 2x2 y 3x3.
Ejemplo
Hagamos un ejemplo explícito. Sea A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9], entonces
det(A)=(5x9-6x8)-2x(4x9-6x7)+3x(4x8-5x7)
=1x5x9+2x6x7+3x4x8-7x5x3-8x6x1-9x4x2
=45+84+96-105-48-72=225-225=0
Esto refleja el hecho de que A no es invertible. Para esto baste notar que
A*[1; -2; 1]=[0; 0; 0]
Aquí estamos multiplicando la matriz A por un vector columna diferente de cero y el resultado es el vector cero, lo que prueba que A no es invertible.
En la próxima entrega veremos algunas propiedades notables del determinante. Las clases de jueves y viernes son para responder la preguntas que han hecho y alguna otra que salga de aquí a entonces.
A=[a¹₁ a²₁ ⋯ aⁿ₁;a¹₂ a²₂ ⋯ aⁿ₂; ⋯ ;a¹ₘ a²ₘ ⋯ aⁿₘ]
para la matriz de tamaño mxn que tiene como j-ésimo renglón al vector
(a¹ⱼ, a²ⱼ,...,aⁿⱼ).
Como vimos en clase, cuando todavía había clase, para la matriz A=[a b; c d], el determinante es el número
det(A)=ac-bd
y nos dice en particular si la matriz es invertible (cuando det(A)≠0) o no. La pregunta es ¿cómo se define el determinante en general?. Lo primero que hay que decir es que el determinante solo tiene sentido para matrices cuadradas (nxn) y se puede definir de forma recursiva (o sea, usando el determinante para matrices (n-1)x(n-1) para definir el determinante de una matriz nxn). Así, para
A=[a¹₁ a²₁ ⋯ aⁿ₁;a¹₂ a²₂ ⋯ aⁿ₂; ⋯ ;a¹ₙ a²ₙ ⋯ aⁿₙ]
tenemos
det(A)=a¹₁ det(A¹₁) - a²₁ det(A²₁) + ⋯ + (-1)ⁿ aⁿₙ det(Aⁿₙ).
Hay varias cosas que explicar. La primera, ¿qué quiere decir Aⁱⱼ? Bueno, Aⁱⱼ es la submatriz de A, de tamaño (n-1)x(n-1), que se obtiene al eliminar de A el renglón i y la columna j. Así
A²₁=[a¹₂ a³₂ ⋯ aⁿ₂;a¹₃ a³₃ ⋯ aⁿ₃; ⋯ ;a¹ₙ a³ₙ ⋯ aⁿₙ]
La suma que se usa para definir el determinante es una suma alternante, esto es, los signos van alternando +, -, +, -, ... El signo del último sumando depende de la dimensión. Si la dimensión es par, el signo es +, si no es -. Esto se logra anotar en la fórmula con el (-1)ⁿ. De hecho, una forma abreviada de la fórmula del determinante, usando la notación de sumatoria, es
det(A)=∑ (-1)¹⁺ˢ a¹ₛ det(A¹ₛ)
sumando para s=1 hasta s=n. Entonces, para calcular determinantes de matrices nxn necesitamos saber calcular determinantes de matrices (n-1)x(n-1) y para esto necesitamos calcular determinantes de matrices (n-2)x(n-2), y así hasta que llegamos a 2x2, para los cuales ya tenemos una fórmula explícita. De hecho la fórmula recursiva también funciona para 2x2, si aceptamos que el determinante de una matrix 1x1, que es un número, es le número mismo. Así por ejemplo
det([a b; c d])=a det(d) - c det(b) = ad-bc.
Para matrices 3 x 3 tenemos
det([a b c; d e f; g h i])=a det([e f; h i]) - b det([d f; g i]) + c det([d e; g h])
=a (e i - f h) - b (d i - f g) + c (d h - e g)
=a e i + b f g + c d h - g e c - h f a - i d b
La última expresión corresponde a sumar productos sobre diagonales y restar productos sobre antidiagonales de la matriz rectangular que se obtiene a repetir las dos primeras columnas de A. Esto de sumar productos sobre diagonales y restar productos sobre antidiagonales luce bien y da bonitas expresiones, pero tiene la desventaja que solo funciona en matrices 2x2 y 3x3.
Ejemplo
Hagamos un ejemplo explícito. Sea A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9], entonces
det(A)=(5x9-6x8)-2x(4x9-6x7)+3x(4x8-5x7)
=1x5x9+2x6x7+3x4x8-7x5x3-8x6x1-9x4x2
=45+84+96-105-48-72=225-225=0
Esto refleja el hecho de que A no es invertible. Para esto baste notar que
A*[1; -2; 1]=[0; 0; 0]
Aquí estamos multiplicando la matriz A por un vector columna diferente de cero y el resultado es el vector cero, lo que prueba que A no es invertible.
En la próxima entrega veremos algunas propiedades notables del determinante. Las clases de jueves y viernes son para responder la preguntas que han hecho y alguna otra que salga de aquí a entonces.
E. Ugalde
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