Tercera entrega

Soluciones a algunos problemas del capítulo 6

Problema 1 (página 118)

Demuestre que las condiciones 

    P1. L(x + y)=L(x)+L(y)  para todo x,  y vectores,
    P2. L(a x)=a L(x) para todo escalar a y vector x,

son equivalentes a la sola condición 

    P3. L(a x + b y)=a L(x) + b L (y) para todo x, y vectores y todo a, b escalares.

Para esto hay que demostrar que P1 y P2 implican P3 y que P3 implica P1 y P2.

Solución.

Primera parte.

Suponemos que L satisface las propiedades P1 y P2. Entonces en P1 tomamos los vectores tomamos x'= a x, y'=b y, con x, y vectores cualesquiera y a, b escalares cualesquiera. Puesto que P1 se satisface, entonces tenemos 

L(x'+y')=L(a x + b y) = L(a x) + L(b y)     (*)

Ahora, como P2 también se satisface, entonces L(a x)=a L(x) y L(b y)=b L(y), puesto que P2 es cierto para cualesquiera vectores y escalares. Entonces, remplazando estas dos últimas ecuaciones en (*), tenemos que 

L(a x + b y)=a L(x) + b L(y),

y de esta forma hemos demostrado que P1 y P2 implican P3.

Segunda parte.

Suponemos ahora que L satisface P3. Si en P3 tomamos a=b=1, entonces tendremos que L satisface P1 y si tomamos b=0, entonces tendremos L satisface P2. De modo que P3 implica P1 y P2.

Problema 3 (página 119)

a) ¿Si p(1,2)=1 y p(2,4)=3, es posible que p sea una transformación lineal?
b) ¿Si Q(x²)=x³ y Q(2x²)=x⁴, es posible que Q sea una transformación lineal de polinomios a polinomios?

Respuesta 

a) No pude ser lineal ya que (2,4)=2(1,2) pero p(2,4)≠2 p(1,2).

b) Tampoco es lineal ya que Q(2x²)≠2 Q(x²)

Problema 7 (página 119)

Para z=x+iy ∈ ℂ, su complejo conjugado es z'=x-iy. La transformación C:ℝ²⟶ℝ² tal que C(x,y)=(x,-y) actúa como la conjugación compleja. 

Pruebe que C es lineal sobre ℝ pero que no es lineal sobre ℂ.

Respuesta

La linealidad de C sobre ℝ se prueba fácilmente. Para ver que C no es lineal sobre ℂ basta notar que 

C(i(x+iy))=C(-y+ix)=-y-ix, 

mientras que 

iC(x+iy)=i(x-iy)=-y+ix,

de modo que C(i(x+iy))≠iC(x+iy).

Nótese que para la respuesta b) se tuvo que escribir x + i y en lugar del par ordenado (x, y). Esto es necesario para ver la acción del escalar complejo sobre el vector (x, y), que de otra forma no se vería.

E. Ugalde