Segunda entrega

Definición de espacio vectorial

Correcciones y comentarios a los problemas del capítulo 5.

 
Esto son mis comentarios generales.

1. Los problemas 1, 4 y parte del 5 estaban en general bien. Me dio la impresión que se entendió bien cómo verificar que una estructura es un espacio vectorial en el caso de que el campo escalar son los números reales. 
2. En el problema 2 y 5 había algo de jiribilla (Jiribilla implica una mala intención o una doble intención. Dícese que una pregunta o un comentario tienen jiribilla cuando son maliciosos.) ya que se trataba de ver si una estructura es o no espacio vectorial dependiendo del campo escalar que se use (ver más abajo).
3. El problema 3, que no tuvo nada de pegue, trataba de verificar si convergencia o divergencia de series es una propiedad que se conserve cuando sumamos o multiplicamos por escalar (ver más abajo).
4. El problema 6 es interesante porque nos muestra cómo algo que en principio no parece espacio vectorial, lo es cuando definimos convenientemente las operaciones de suma y multiplicación por escalar. También tiene jiribilla porque la suma es un producto y la multiplicación por escalar es una exponenciación. Tomar el logaritmo puede ayudar a ver la correspondencia. 

 Incluyo soluciones y comentarios que pueden ayudar a entender.

Comentarios al problema 2 

ℂ es un espacio vectorial sobre ℂ y sobre ℝ. 
En el pirmer caso solo hay que verificar que suma y producto en ℂ cumplen las propiedades de espacio vectorial. Y resulta que si, ℂ es un espacio vectorial sobre ℂ.
En el segundo caso basta checar que si 𝛼 ∈ ℝ y z=a+ib ∈ ℂ, entonces 𝛼 z=𝛼 a+i 𝛼 b∈ ℂ, de modo que ℂ es un espacio vectorial sobre ℝ.

Problema 3 

V={f: ℕ⟶ℝ| limₙf(n)∈ℝ} es el conjunto de las secuencias que convergen. La suma y multiplicación por escalar son las usuales:

• (f+g)(n)=f(n)+g(n) para toda n ∈ ℕ,
• (𝛼f)(n)=𝛼 f(n) para toda n ∈ ℕ.

Para demostrar que V es un espacio vectorial hay que verificar que cada vez que f y g convergen, entonces f+g converge y que para cada 𝛼∈ℝ, 𝛼f también converge. Esto deriva directamente de resultados conocidos de cálculo:

limₙ(f+g)(n)=limₙf(n)+limₙg(n) y limₙ(𝛼f)(n)=𝛼 limₙf(n)

Ahora, si consideramos V={f: ℕ⟶ℝ| limₙf(n) no existe o es ±∞}, con las mismas operaciones, entonces resulta que V no es espacio vectorial. Para esto vasta notar que si f(n)=n y g(n)=-n, entonces ambas secuencias están en V ya que limₙf(n)=+∞ y limₙg(n)=-∞, sin embargo (f+g)(n)=0 para cada n∈ℕ, y por lo tanto limₙ(f+g)(n)=0, así que f+g∉V.

Comentarios al problema 5

Sea P₃={𝛼₀+𝛼₁x+𝛼₂x²+𝛼₃x³: 𝛼ₖ∈ℝ} el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado a lo mas tres. Consideramos en P₃ la suma y multiplicación escalar usuales, es decir,

• (𝛼₀+𝛼₁x+𝛼₂x²+𝛼₃x³)+(𝛽₀+𝛽₁x+𝛽₂x²+𝛽₃x³)= (𝛼₀+𝛽₀)+(𝛼₁+𝛽₁)x+(𝛼₂+𝛽₂)x²+(𝛼₃+𝛽₃)x³  
• 𝛼(𝛼₀+𝛼₁x+𝛼₂x²+𝛼₃x³)=𝛼𝛼₀+𝛼𝛼₁x+𝛼𝛼₂x²+𝛼𝛼₃x³

Es fácil verificar que V es un espacio vectorial sobre ℝ. Para esto basta notar que (𝛼ₖ+𝛽ₖ)∈ℝ cada vez que 𝛼ₖ∈ℝ y 𝛽ₖ∈ℝ y 𝛼𝛼ₖ∈ℝ cuando 𝛼 y 𝛼ₖ∈ℝ. Pero V no es un espacio vectorial sobre ℂ, ya que 

i(𝛼₀+𝛼₁x+𝛼₂x²+𝛼₃x³)=i𝛼₀+i𝛼₁x+i𝛼₂x²+i𝛼₃x³∉V ya que i𝛼ₖ∉ℝ cuando 𝛼ₖ∈ℝ.

En cambio Q₃={𝛼₀+𝛼₁x+𝛼₂x²+𝛼₃x³: 𝛼ₖ∈ℚ} con las mismas operaciones si es un espacio vectorial sobre ℚ.

Problema 6 

El conjunto V={x∈ℝ| x>0} con las operaciones 

• x⊕y=xy
• 𝛾ⁱ⊗x=xˠ 

es un espacio vectorial.  

El conjunto es cerrado bajo las operaciones ⊕ y ⊗. Para esto notemos que si x, y>0 entonces x⊕y=xy>0 y para cualquier 𝛾∈ℝ y x>0, 𝛾⊗x=xˠ >0. 

La operación ⊕ es conmutativa y asociativa ya que el producto usual en ℝ lo es. Por otro lado, el elemento 1∈V juega el papel del neutro aditivo, mientras que para x∈V, el elemento 1/x∈V es su inverso aditivo. 

Las leyes distributivas se cumplen:

• 𝛾⊗(x⊕y)=(xy)ˠ=xˠyˠ=(𝛾⊗x)⊕(𝛾⊗y),
• (s+𝛾)⊗x=xˢ⁺ˠ=xˢxˠ=(s⊗x)⊕(𝛾⊗x).

La asociatividad del producto por escalar se cumple:

• s⊗(𝛾⊗x)=s⊗xˠ=(xˠ)ˢ=xˠˢ=(s𝛾)⊗x.

El producto por la unidad no cambia a los vectores:

• 1⊗x=x¹=x.

Con todo esto tenemos que (V,⊕,⊗) es un espacio vectorial sobre ℝ.

E. Ugalde