Cuarta entrega

Complemento a la solución de problemas del capítulo 6

Problema 2. Si f es una transformación lineal de una variable ¿cuántos puntos de su gráfica se necesitan para especificar la función? De una expresión explícita de f en términos de esos puntos.

Respuesta. Este problema es ligeramente capcioso. Una linea recta está totalmente determinada por dos de los puntos por los que pasa y una función lineal tiene como gráfica una linea recta, por lo que es de suponer que dos puntos de su gráfica son necesarios para especificar una función lineal. De hecho dos puntos son suficientes, pero basta un punto de la gráfica de f que no sea el punto (0,0), para determinar a f. La razón es que toda función lineal de una variable tiene como gráfica una linea recta que pasa por el origen. Cualquier otro punto por el que pase será del tipo (a,b) con a diferente de cero y con ese punto se puede terminar a f. De hecho, respondiendo a segunda parte del problema, si la gráfica de f pasa por (a,b) con a diferente de 0, entonces
f(x)=bx/a necesariamente.


Problema 4. Si f es una función lineal tal que f(1,2)=0 y f(2,3)=1 entonces ¿cuánto vale f(x,y)?

Aquí me permití usar vectores renglón en lugar de vectores columna porque el editor del Blogger es muy básico. 

Respuesta. Lo más práctico es escribir (x,y) como una combinación lineal de los vectores (1,2) y (2,3), es decir, tenemos que encontrar escalares a y b tales que
                                      a(1,2)+b(2,3)=(x,y).
Los escalares a y b dependerán de x y y.
Una vez que hayamos hecho esto, entonces usamos la linealidad de f para calcular f(x,y) y tendremos
                                     f(x,y)=af(1,2)+bf(2,3)=a.0+b.1=b.
El problema es entonces encontrar a y b. Para esto resolvemos las dos ecuaciones involucradas, una por cada coordenada:
                                        a+2b=x, 2a+3b=y.
Ustedes ya saben hacer esto, y el resultado que deben haber obtenido es
                                        a= 2y-3x, b=2x-y. 
Con esto f(x,y)=b=2x-y.


Problema 5. Sea Pn el espacio de polinomios de grado menor o igual a n en la variable t. Sea L: P2 → P3  la transformación lineal que cumple L(1)=4, L(t)=t³, L(t²)=t-1. 
a) Encuentre L(1+t+2t²).
b) Encuentre L(a+bt+ct²).
c) Encuentre todos los posibles valores de a, b, c que hacen que 
                                       L(a+bt+ct²)=1+3t+2t³.

Respuesta. Para el inciso a) basta usar la linealidad. Tenemos entonces
         L(1+t+2t²)=L(1)+L(t)+2L(t²)=4+t³+2(t-1)=2+2t+t³.
Para el inciso b) hacemos lo mismo. Tenemos entonces 
          L(a+bt+ct²)=aL(1)+bL(t)+cL(t²)=4a+bt³+c(t-1)=4a-c+ct+bt³.
Finalmente, para el inciso c) igualamos el resultado del inciso anterior con el resultado que andamos buscando, es decir
           L(a+bt+ct²)=4a-c+ct+bt³=1+3t+2t³.
Para que estos polinomios sea iguales, sus coeficientes deben coincidir. Entonces tenemos tres ecuaciones:
                               4a-c=1, c=3, b=2.
La solución a estas tres ecuaciones es única y es: a=1, b=2, c=3.

Mañana publicaré instrucciones para esta semana y nuevas fechas de entrega.
Colaboren a combatir la epidemia. 
No salgan de casa a menos que sea necesario.  

Por cierto, si necesitan una asesoría personal, pueden contactarme por email y ahí nos ponemos de acuerdo para contactarnos por video.